Modelleme ve Matematik

En genel anlamı ile ifade etmek istersek, modelleme gerçekliğin kopyalaması anlamına gelir. Gerçek dünya problemleri için modeller oluşturmak, özellikle matematik modelleri oluşturmak tarih boyunca insanlığın gelişimi için çok önemli olmuştur. Gerçek dünya nesnelerinin soyut temsilleri, mağara insanlarının çizimleri ile başlayarak taş devrinden bu yana kullanılıyor olsa da modellemenin gerçek çıkış noktası antik yunan zamanına dayanmaktadır. Sayılar ilk modeller olarak düşünülebilir. Sayıların varlığı ile ilgili ilk belgeler (kemikler üzerine yapılmış işaretlemeler gibi) MÖ 30.000 yıla dayanıyordu. Matematik modelleri olarak sayılar gelişerek milattan önce 2000’li yıllarda, özellikle Babil, Mısır ve Hindistan’da insanların hayatlarını kolaylaştırmaya başlamıştı. Helenistik çağda ise felsefenin ve matematiğin gelişimi matematik teorilerinin yükselişine yol açan çıkarıma dayalı yöntemlerin ilk parçalarını oluşturmuştu. Milattan önce 600 yılından başlayarak, geometri gerçekliği modellemek ve analiz etmek için yararlı bir araç haline gelmiş ve matematiğin gelişimini de etkilemişti. Fizikte kullandığımız formüller, grafikler, geometrik figürler matematik modellemenin birer örneğidir.

Doğadaki fenomenleri temsil eden modeller ve bu ilk modellerden geliştirilen matematik modelleri fizik tarihinde önemli bir yere sahiptir. Newton mekaniği, Einstein’ın görelilik teorisi, kuantum mekaniği ve birçok olgu model tanımına örnek olarak verilebilir. Bunlardan daha önce, MÖ 4000 yılından bu yana astronomi biliminde modeller, en önemlisi evren modelleri önemli rol oynamıştır. Antik çağlardan orta çağa kadar gök cisimlerinin hareketlerini ve dünyanın bu gök cisimleri arasındaki yerini ortaya koymaya çalışan birçok evren modeli ve evren modellerini açıklayan matematik modelleri fizik bilimi için önemli adımlar olmuşlardır.

 

   
Şekil Kopernik evren merkezli modeli Şekil Matematiksel bir model

 Öğretmenler için öneriler

Kavramın doğuşu hikâyesinde modelleme kavramının doğuşu ve modellemenin anlamı verilmiştir. Fizikte kullandığımız matematik formüllerinin, grafiklerin ya da geometrinin birer matematik modelleme olduğunun anlaşılabilmesi için modellemenin matematik yönüne de değinilmiş, fizikte en bilinen modellerden olan evren modelleri üzerinde durulmuştur.

Bilimsel bir yöntem olarak modelleme

17. yüzyılda bilim insanları evrende dünyanın yeri üzerinde tartışıyorlardı. O döneme kadar var olan iki evren modelinin biri Aristo’ya aitti. Aristo dünyayı evrenin merkezine alıyor ve tüm gök cisimlerinin dünyanın etrafında döndüğünü söylüyordu. İkinci bir evren modeli ise Kopernik tarafından şekillendirilmişti. Kopernik’in evren modeli ise Güneş’i evrenin merkezine alıyor ve dünya dâhil olmak üzere tüm gök cisimlerinin güneş etrafında döndüğünü söylüyordu.

Antik yunan düşünürlerinin savunduğu gibi dünya evrenin merkezinde miydi yoksa Kopernik’in söylediği gibi Güneş’in yörüngesinde mi dönüyordu? Bu soruya bilimsel olarak cevap vermenin tek bir yolu vardı. Bilim insanları gökyüzünü gözlemleyip inceleyerek gök cisimlerinin hareketleri ve dünyanın evrendeki yeri hakkında karar verebileceklerdi. Bilim insanları yıllarca gözlemler yaptılar ve gözlemlerden elde ettikleri verileri not ettiler. 16. yüzyılın ortalarında başlayan gözlemlere ait notlar artarak en son 17. Yüzyılda Kepler’e ulaşmıştı.

Kepler çalışmasına güneş sisteminin nasıl olması gerektiği düşüncesi ile başlamıştı. Ona göre, o zamanlarda bilinen altı gezegen, matematiksel harmonisi olan bir düzen içinde hareket etmekteydi. Kopernik’ten aldığı veriler Keplerin düşündüğü matematik harmonisine uyum sağlıyordu. Bu verilere göre ilk modelini oluşturdu. Daha sonra başka bir bilim insanının (Brahe)kendi gözlemleri ile elde ettiği verilerinin, Kopernik’in verilerine göre çok daha uyumlu olduğunu fark etti. Bu durumda ilk oluşturduğu modelin uyumsuz olduğunu gördü ve gezegenlerin harmonisini açıklayacak yeni bir model arayışına girdi. Gezegen hareketlerini matematik kullanarak açıklayabilmek için çalışmalar yaptı ve sonunda Kepler yasaları olarak bildiğimiz matematik modelleri oluşturdu.

Şekil Kepler gezegenlerin harmonisini notalarla da ifade etmişti.

Öğretmenler için öneriler

Bilimsel Yöntem başlığı altındaki ‘Bilimsel bir yöntem olarak modelleme’ hikâyesi ile modellemenin bilimsel bir yöntem olduğu ve fizik alanındaki çalışmalardaki önemi öğrencilere gösterilebilir (Bilgi kazanımları 3.1 ve 3.2). Aşağıda yer alan örnek etkinlik kullanılarak öğrenciler, modelleme yapabilir, nabız ile ölçüm alarak birimlerin ortaya çıkışındaki ihtiyacı anlayabilir, deneysel bir yöntem takip ederek aldıkları sonuçlarla ilişkili hata kaynaklarını tartışabilir ve grafiklerini oluşturabilirler. Böylece bilimsel yöntemler, ölçme yöntemleri, modelleme ve matematik ile ilgili olarak öğrendiklerini uygulamalı olarak tekrar etme fırsatı bulmuş olurlar.

Etkinlik (Bilimsel Yöntemler, Matematik ve Modelleme ile ilgili)

Galileo’nun sarkaç ile yaptığı çalışmalar fizik tarihinde önemli bir yere sahiptir. Aşağıdaki etkinlik, deney ayrıntıları kesin olarak bilinmese de, Galileo’nun sarkacı keşfi ve sarkaç deneyi üzerine kurgulanmıştır.

Galileo her hafta olduğu gibi o hafta da ailesi ile birlikte pazar günü kiliseye gitmişti. Ama bir süre sonra canı sıkılmıştı ve etrafı izlemeye başlamıştı. Bir ara gözü tavandaki avizelere takıldı. Kilisenin tavanında birbirinin aynı birçok avize vardı ve hepsi de kapıdan giren rüzgârın etkisiyle sallanıyorlardı. Galileo avizeleri daha dikkatli izlemeye başladı. Avizeler bir düzen içinde sallanıyorlardı. İki tane yakın avizeyi seçerek gözlemlemeye başladı. Gözlemlediği kadarıyla iki avizenin de bir gidiş gelişi (salınımı) aynı sürede gerçekleşiyordu. Bu, Galileo’nun çok ilgisini çekmişti. Neden bu şekilde olduğunu merak etti. Gerçekten eşit sürede miydi yoksa ona mı öyle geliyordu emin olmadı.

Galileo süreyi nasıl ölçebilir?

Galileo’nun yaşadığı dönemde kronometre değil saat bile yoktu. Süreyi ölçebilmek için farklı yöntemler kullanıyorlardı. Galileo’nun süreyi ölçebilmek için kendi kalp ritmini kullanmıştı. Nabız atışlarını sayarak avizenin belli sayıda salınımı ne kadar sürede yaptığını ölçtü. Sonra diğer avizenin belli bir salınımı ne kadar sürede yaptığını aynı şekilde ölçtü. İki ölçümünde de eşit sayıda nabız atışı saymıştı. Galileo avizelerin salınım süresini bu şekilde belirledikten sonra bir salınım için geçen süreyi neler etkileyebilir diye düşündü.

Sarkacın bir kez gidip gelmesi için geçen süre neye bağlı olabilir? Tek bir salınımı ölçebilir misiniz?

Galileo’nun bu çalışmayı kilisedeki avizelerle yapması mümkün değildi. Çünkü rüzgar ve diğer koşullar her zaman aynı olamayabilirdi. Bu nedenle kilisedeki avizelerin basit bir modelini yaptı. Bir çiviye ucunda bir ağırlık olan ipi astı. Galileo kurduğu deney seti ile artık çalışmalarına başlayabilirdi.

Galileo yaptığı deneyler sonucunda ip uzunluğu arttırdıkça bir git-gellik sürenin arttığını gözlemledi. Daha sonra sarkaca bağladığı kütleleri değiştirerek deneye devam etti. Kütlenin miktarı ne kadar değiştirirse değiştirilsin salınım süresi değişmiyordu. O halde sarkacın salınım süresi ile kütle miktarının bir ilişkisi yoktu. Galileo’nun deneyleri sonucunda sarkaç uzunluğunun sarkacın salınım süresini (periyodunu) etkilediği, kütle miktarının ise bir etkisi olmadığı sonucuna ulaşmıştı ama bu bulgularını matematiksel bir model oluşturarak göstermemişti. Galileo’dan sonra sarkaç üzerine yapılan çalışmalarda sarkacın periyodunu etkileyen tüm değişkenler tanımlamış ve sarkacın periyodunu açıklayan matematik modeli oluşturulmuştu.

Modelleme ve Matematik” için 2 yorum

  • 19 Haziran 2018 tarihinde, saat 12:50
    Permalink

    Merhaba, yarın 60 kişilik bir öğretmen grubuna sitenin tanıtımını yapacağım fakat hiçbir yazının altında referans veya içerikleri hazırlayan ekiple alakalı bir bilgi göremedim. Kendimden emin şekilde bir sunum yapmak için bu bilgiye ihtiyacım var, teşekkür ederim.

    Yanıtla

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir